Persamaan eksponen adalah persamaan dari bilangan eksponen dengan pangkat yang memuat sebuah fungsi, atau persamaan perpangkatan yang bilangan pangkatnya mengandung variabel sebagai bilangan peubah.

Sifat – Sifat Persamaan Eksponen Berdasarkan Pangkatnya

Sifat – sifat persamaan eksponen sederhana banyak sifatnya, berikut ini sifat – sifat persamaan eksponen berdasarkan pangkatnya adalah :

1. Pangkat Bulat Positif (m dan n bulat positif )

• am. an = am+n
• am/an = am-n
• (am)n = am.n
• (ab)m = am. bm
• (a/b)m = am/bm

2. Pangkat Nol 

• a0 = 1, dengan syarat a ≠ 0

3. Pangkat Bulat Negatif ( n positif )

• a-n = 1/an , atau 1/a-n = an

4. Pangkat Bilangan Pecahan

• a1/n = n√a
• am/n = n√am = ( n√a)m

Contoh :

• Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 5)x2 – 4 = (x – 5)2 – x)

Jawab :

• h(x) = 0 ⟺ x – 5 = 0 ⟺ x = 5
  Syarat x2 – 4 > 0 dan 2 – x > 0

Substitusikan x – 5
52 – 4 > 0 dan 2 – 5 > 0 (tidak memenuhi)
Ini berarti x = 5 bukan himpunan penyelesaian.

• h(x) = 1 ⟺ x – 5 = 1 ⟺ x = 6

Tidak memerlukan syarat sehingga x = 6 merupakan himpunan penyelesaian.

• h(x) = -1 ⟺ x – 5 = -1 ⟺ x = 4

Substitusikan x = 4 pada f(x) dan g(x)
42 – 4 = genap dan 2 – 4 = genap
Karena keduanya genap maka x – 4 merupakan himpunan penyelesaian.

• f(x) = g(x) ⟺ x2 – 4 = 2 – x
  ⟺ x2 + x – 6 = 0
  ⟺ (x + 3)(x – 2) = 0
  ⟺ x = -3 atau x = 2

Setelah itu disubstitusikan x = -3 atau x = 2 ke dalam h(x) diperoleh h(x) ≠ 0 : h(x) ≠ 1
Ini berarti x = -3 atau x = 2 merupakan himpunan penyelesaian.

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan di atas adalah = {-3, 2, 4, 6}

Bilangan Eksponen merupakan bentuk angka yang bersifat perkalian dengan angka yang sama sehingga kemudian angka tersebut dapat diulang dengan makna yang sama sebagai singkatnya dari perkalian.

Eksponensial selain dalam ilmu matematika sering digunakan dari berbagai bidang ekonomi, biologi, dan kimia selain itu juga sebagai ilmu komputer dengan aplikasi yang saling berhubungan pada kinerja ilmu matematika dan kimia.

Fungsi Eksponensial memiliki sifat sebagai berikut:

• Sebagai Kurva yang terletak di atas sumbu x yang berfungsi sebagai bilangan yang positif
• Sebagai bilangan yang dapat memotong sumbu y dengan titik ( 0,1 ).
• dan sebagai Asimtot yang datar y  =  0 sebagai sumbu x dengan garis yang yang sejajar pada sumbu x.
• Memiliki Grafik yang monoton naik pada bilangan x > 1.
• Memiliki Grafik yang monoton turun pada bilangan 0 < x < 1.

Konsep :

Dengan :

a = Bilangan pokok

n = Bilangan pangkat/eksponen

Sifat Bilangan Eksponensial.

Dengan 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 0

Fungsi eksponensial f dengan bilangan pokok a adalah fungsi yang memetakan setiap bilangan real x ke 𝑎𝑥 dengan 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1 dan ditulis sebagai :

• Bentuk pemetaan : f : 𝑥 → 𝑎𝑥 , dengan 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1 atau
• Bentuk formula : 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 , dengan 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1

 Contoh Soal Fungsi Eksponensial

1. Diberikan 𝑓(𝑥) = 22𝑥−1 , carilah nilai dari 𝑓(2) dan 𝑓 ( ½ )

Jawaban : 

2. Lukislah grafik fungsi 𝑦 = 2𝑥 dengan 𝑥 ∈ R

Jawaban : 

3. Nilai x yang memenuhi persamaan  adalah . . .

A. -16

B. -7

C. 4

D. 5

E. 6

Jawaban : 

Jawaban : A

4. √15 + √60 – √27 = …

Jawaban : 

√15 + √60 – √27

= √15 + √(4×15) – √(9×3)

= √15 + 2√15 – 3√3

= 3√15 – 3√3

= 3(√15 – √3)

5. Perhatikanlah ilustrasi berikut ini

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari | x – 2014 | ≤ 6 

Jawaban : 

6. Gambarkanlah grafik 

Jawaban :

dan seterusnya

Perhatikanlah ilustrasi berikut ini

7. Bentuk sederhana dari ( 1 + 3√2) – ( 4 – √50 ) adalah ….

A. – 2√2 – 3  

B. – 2√2 + 5

C. 8 √2 – 3     

D. 8 √2 + 3  

E. 8 √2 + 5

Jawaban : C

Pembahasan : 

8. Jika 2log 3 = a dan 3log 5 = b, maka 15log 20 = ….

Jawaban : B

Pembahasan : 

9. Nilai dari 

A. – 15

B. – 5

C. – 3

D. 1/15

E. 5

Jawaban : A

Pembahasan : 

10. Nilai dari  untuk x = 4 dan y = 27 adalah ….

A. (1 + 2√2 ) 9√2

B. (1 + 2√2 ) 9√3

C. (1 + 2√2 ) 18√2

D. (1 + 2√2 ) 27√2

E. (1 + 2√2 ) 27√3

Jawaban : B

Pembahasan : 

11 – 20 Contoh Soal Fungsi Eksponensial dan Jawaban

11. Akar – akar persamaan 32x+1 – 28.3x + 9 = 0 adalah x1 dan x2. Jika x1 > x2, maka nilai 3x1 – x2 = …

A. – 5

B. – 1

C. 4

D. 5

E. 7

Jawaban : E

Pembahasan : 

12. Akar – akar persamaan 2.34x – 20.32x + 18 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = ….

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

E. 4

Jawaban : 

Pembahasan : 

Caranya sama dengan nomor 12, tetapi yang dimisalkan adalah 32x

Silahkan dicoba ya Soal Fungsi Eksponensial . . .

13. Nilai x yang memenuhi persamaan 22log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x adalah ….

A. 2log 3

B. 3log 2

C. – 1 atau 3

D. 8 atau ½

E. log 2/3

Jawaban : A

Pembahasan : 

2log.2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x

2log.2log (2x+1 + 3) =  2log 2 + 2log x

2log.2log (2x+1 + 3) =  2log 2x ( gunakan kesamaan pada logaritma )

2log (2x+1 + 3) =  2x ( gunakan definisi logaritma sebagai invers eksponen alog b = c ↔ b= ac )

2x+1 + 3 =  22x  ( pindahkan semua nilai ke ruas kanan )

22x – 2x+1 – 3 = 0

(2x)2 – 2x.21 – 3 = 0

(2x)2 – 2.2x – 3 = 0

Misal 2x = q

q2 – 2q – 3 = 0

( q – 3 ) ( q + 1 ) = 0

q – 3 = 0  atau  q + 1 = 0

q = 3 atau  q = –1

substitusikan nilai q pada 2x = q

2x = 3   atau 2x = –1

x = 2log 3 (untuk 2x = –1 tidak ada nilai x yang memenuhi, sebab hasil dari suatu bilangan yang dipangkatkan tidak pernah negatif )

14. Penyelesaian pertidaksamaan log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16) adalah ….

A. x > 6

B. x > 8

C. 4 < x < 6

D. – 8 < x < 6

E. 6 < x < 8

Jawaban :  C

Pembahasan Soal Fungsi Eksponensial : 

log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16)

log (x – 4) (x + 8) < log (2x + 16)

log ( x2 + 4x – 32 ) < log ( 2x + 16 )  (gunakan kesamaan pada logaritma)

( x2 + 4x – 32 ) < ( 2x + 16 )

x2 + 4x – 32 – 2x – 16 < 0

x2 + 2x – 48 < 0

( x + 8 ) ( x – 6 ) < 0                     (daerah Himpunan Penyelesaian ke – 1 )

Cari harga pembuat nol untuk ( x + 8 ) dan ( x – 6 ), didapat x = –8  dan x = 6

Selain daerah penyelesaian diatas sebagai jawaban perlu juga dicek kembali nilai numerus untuk logaritmanya.

Untuk log (x – 4), nilai     x – 4 > 0

x > 4 ( daerah Himpunan Penyelesaian ke – 2 )

Untuk log (x + 8), nilai     x + 8 > 0

x > –8 ( daerah Himpunan Penyelesaian ke – 3 )

Untk log (2x + 16), nilai   2x + 16 > 0

 x > –8 ( daerah Himpunan Penyelesaian ke – 4 )

Cat : Untuk mendapatkan daerah positif atau negatif pada HP 1 caranya dengan substitusi nilai yang berada pada daerah tertentu, misalnya nilai yang kurang dari -8 ( misalnya diambil -9)

Substitusi nilai tersebut pada persamaan x2 + 2x – 48

F(-9) = (-9)2 + 2 (-9) – 48 = 81 – 18 – 48 = 15 ( didapat hasil yang positif )

Daerah yang memeuhi ketiga HP diatas adalah irisan dari ketiga HP tersebut, yaitu 4 < x < 6

15. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan : 2 log x log (2x + 5) + 2 log 2 adalah ….

A. -5/2 < x ≤ 8

B. -2 ≤ x ≤ 10

C. 0 < x ≤ 10

D. -2 < x < 0

E. -5/2 ≤ x < 0

Jawaban : C

Pembahasan : 

2 log x  log (2x + 5) + 2 log 2

log x2  log (2x + 5) + log 22

log x2  log (2x + 5) ( 4 )             ( gunakan kesamaan pada logaritma )

x2  (2x + 5) ( 4 )

x2  8x + 20

x2 – 8x – 20  0

( x – 10 ) ( x + 2 )  0

Cari harga pembuat nol untuk ( x + 2 ) dan ( x – 10 ), didapat x = –2  dan x = 10

Selain daerah penyelesaian diatas sebagai jawaban perlu juga dicek kembali nilai numerus untuk logaritmanya.

Untuk log x, nilai   x > 0   (daerah Himpunan Penyelesaian ke – 2 )

Untuk log ( 2x + 5 ), nilai  2x + 8 > 0  x > – 5/2  ( daerah Himpunan Penyelesaian ke – 3 )

Daerah yang memeuhi ketiga HP diatas adalah irisan dari ketiga HP tersebut, yaitu 0 < x ≤ 10

16. Himpunan penyelesaian persamaan 2.9x – 3x+1 + 1 = 0 adalah ….

A. { ½ , 1 }

B. { –½ , –1 }

C. { –½ , 1 }

D. { 0 , 3log ½ }

E. { ½ , ½log 3 }

Jawaban : 

Pembahasan : 

Caranya sama dengan sebelumnya, tetapi yang dimisalkan adalah 32x.

17. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan  adalah …

A. x < –14

B. x < –15

C. x < –16

D. x < –17

E. x < –18

Jawaban : 

Pembahasan : 

18. Himpunan penyelesaian persamaan xlog ( 10x3 – 9x ) = xlog x5 adalah ….

A. { 3 }

B. { 1,3 }

C. { 0,1,3 }

D. { –3, –1,1,3 }

E. { –3, –1,0,1,3 }

Jawaban : B

Pembahasan : 

xlog ( 10x3 – 9x ) = xlog x5   ( gunakan kesamaan pada logaritma )

10x3 – 9x = x5

x5 – 10x3 + 9x = 0               ( faktorkan dengan mengeluarkan variabel x)

x ( x4 – 10x2 + 9 ) = 0                   ( faktorkan kembali persamaan yang ada didalam kurung )

x ( x2 – 9 ) ( x2 – 1 ) = 0      ( faktorkan kembali persamaan yang ada didalam kurung )

x ( x – 3 ) ( x  + 3 ) ( x – 1 ) ( x  + 1 ) = 0

Cari harga pembuat nol untuk x, ( x – 3 ), ( x  + 3 ), ( x – 1 ) dan ( x  + 1 ).

Didapat    

x = 0

x = 3

x = –3 

x = 1

x = –1

Dari kelima jawaban hanya 1 dan 3 yang memenuhi persyaratan jika disubstitusikan kepersamaan ( ingat kembali syarat dari bilangan pokok logaritma )

19. Nilai x yang memenuhi 3x²-3x+4 adalah ….

A. 1 < x < 2

B. 2 < x < 3

C. –3 < x < 2

D. –2 < x < 3

E. –1 < x < 2

Jawaban Soal Fungsi Eksponensial : B

Pembahasan : 

20. Jika x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan (3log x)2 – 3.3log x + 2 = 0, maka x1.x2 = ….

A. 2

B. 3

C. 8

D. 24

E. 27

Jawaban : E

Pembahasan : 

(3log x)2 – 3.3log x + 2 = 0

Misal 3log x = p

p2 -3p + 2 = 0

( p – 2 ) ( p – 1 ) = 0

p1 = 2 atau p2 = 1

3log x1 =  2            atau     3log x2 = 1

x1 = 9                    atau     x2 = 3

x1 . x2 = 27