Persamaan Logaritma
Persamaan logaritma merupakan persamaan logaritma yang mengandung unsur fungsi tertentu. Persamaan ini mengandung beberapa bentuk diantaranya:
- Bentuk
Dengan bentuk seperti itu, maka persamaan dapat diubah bentuknya menjadi . Dengan syarat a > 0 dan a ≠ 1. Sebagai contoh, , maka:
Dari persamaan kuadrat tersebut dapat diketahui akar-akarnya sebagai penyelesaian:
dan Dari persamaan kuadrat tersebut dapat diketahui akar-akarnya sebagai penyelesaian:
dan
- Bentuk
Dengan bentuk seperti itu, maka persamaan dapat diubah bentuknya menjadi f(x) = b dengan syarat a > 0, a ≠ 1 dan b > 0. Sebagai contoh, diubah bentuk menjadi:
Akar-akarnya adalah:
dan
- Bentuk
Dengan bentuk seperti itu, maka persamaan dapat diubah bentuknya menjadi . Dengan syarat a > 0, a ≠ 1 dan > 0 dan > 0. Sebagai contoh:
,
Menjadi:
Sehingga:
- Bentuk
Persamaan logaritma ini dapat direduksi menjadi persamaan kuadrat dengan memisalkan . Sehingga membentuk persamaan baru:
Dari persamaan tersebut akan diperoleh penyelesaian fungsi y, kemudian bisa disubstitusikan kedalam untuk mendapatkan penyelesaian fungsi x. Sebagai contoh:
Misalkan , maka persamaan barunya:
Akar-akarnya:
dan
Sehingga diperoleh nilai x dari akar-akar y yaitu:
Pertidaksamaan Logaritma
Pertidaksamaan juga bisa dioperasikan pada logaritma. Pada petidaksamaan logaritma, berlaku beberapa teorema yaitu:
Saat a > 1
Saat 0 < a < 1
Sebagai contoh, menentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan:
Berubah bentuk menjadi:
Dari pertidaksamaan tersebut diketahui bahwa a = 2, berarti a > 1. Berlaku syarat: Jika , maka . Sehingga:
Garis bilangannya adalah:
Sama halnya dengan persamaan logaritma, pertidaksamaan logaritma sering kali dilakukan permisalan . Permisalan ini untuk menyederhanakan dan mempermudah penyelesaiaan pertidaksamaan. Sebagai contoh penyelesaian dari:
Diubah menjadi:
Dimisalkan y = log x, maka pertidaksamaan menjadi:
Akar-akarnya adalah :
dan
Maka nilai x adalah:
Berlaku syarat x > 0, dan x ≠ 1, maka garis bilangannya adalah:
Penyelesaiannya adalah:
atau
Pertidaksamaan Harga Mutlak Logaritma
Operasi logaritma bisa dilakukan dalam sebuah harga mutlak. Penyelesaiannya mengikuti sifat-sifat harga mutlak dan logaritma. Harga mutlak tersebut memiliki sifat-sifat:
- Jika dengan > 0, maka < x <
- Jika dengan > 0, maka x < atau x >
Penyelesaian pertidaksamaan logaritma dalam harga mutlak ini dapat dikerjakan seperti contoh:
Berdasarkan sifat , maka:
Berdasarkan sifat , maka:
Contoh Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma dan Pembahasan
Contoh Soal 1: Persamaan Logaritma
Tentukan penyelesaian dari (UMPTN ’92)
Pembahasan 1:
Contoh Soal 2: Persamaan Logaritma
Tentukan nilai x dari persamaan (UMPTN ’93)
Pembahasan 2:
Misalkan , maka persamaannya:
Berdasarkan sifat , maka:
Contoh Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma dan Pembahasan
Contoh Soal 1: Persamaan Logaritma
Tentukan penyelesaian dari (UMPTN ’92)
Pembahasan 1:
Contoh Soal 2: Persamaan Logaritma
Tentukan nilai x dari persamaan (UMPTN ’93)
Pembahasan 2:
Misalkan , maka persamaannya:
Berdasarkan sifat , maka:
Contoh Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma dan Pembahasan
Contoh Soal 1: Persamaan Logaritma
Tentukan penyelesaian dari (UMPTN ’92)
Pembahasan 1:
Contoh Soal 2: Persamaan Logaritma
Tentukan nilai x dari persamaan (UMPTN ’93)
Pembahasan 2:
Misalkan , maka persamaannya:
Berdasarkan sifat , maka:
Contoh Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma dan Pembahasan
Contoh Soal 1: Persamaan Logaritma
Tentukan penyelesaian dari (UMPTN ’92)
Pembahasan 1:
Contoh Soal 2: Persamaan Logaritma
Tentukan nilai x dari persamaan (UMPTN ’93)
Pembahasan 2:
Misalkan , maka persamaannya:
Berdasarkan sifat , maka:
Contoh Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma dan Pembahasan
Contoh Soal 1: Persamaan Logaritma
Tentukan penyelesaian dari (UMPTN ’92)
Pembahasan 1:
Contoh Soal 2: Persamaan Logaritma
Tentukan nilai x dari persamaan (UMPTN ’93)
Pembahasan 2:
Misalkan , maka persamaannya:
Berdasarkan sifat , maka:
Contoh Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma dan Pembahasan
Contoh Soal 1: Persamaan Logaritma
Tentukan penyelesaian dari (UMPTN ’92)
Pembahasan 1:
Contoh Soal 2: Persamaan Logaritma
Tentukan nilai x dari persamaan (UMPTN ’93)
Pembahasan 2:
Misalkan , maka persamaannya: