matematic assigment

Selasa, 24 November 2020

Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma dan Pembahasan

Soal 1: Persamaan Logaritma

Tentukan penyelesaian dari $^2\log(2x - 3) - ^4\log(x - ^3/_2) = 1$ (UMPTN ’92)

Pembahasan 1:

$^2\log(2x - 3) - ^4\log(x - ^3/_2) = 1$

$^2\log(2x - 3) - \frac{1}{2}(^2\log(\frac{2x-3}{2})) = 1$

$^2\log(2x - 3) - (\frac{1}{2}^2\log(2x - 3)) - (-\frac{1}{2}^2\log 2) = ^2\log 2$

$\frac{1}{2}^2\log(2x - 3) = \frac{1}{2}^2\log 2$

$^2\log (2x - 3) = ^2 \log 2$

$2x - 3 = 2$

$x = 2,5$

Soal 2: Persamaan Logaritma

Tentukan nilai x dari persamaan $\log(\frac{3x+1}{100}) = ^{3x+1}\log 1000$ (UMPTN ’93)

Pembahasan 2:

$\log(\frac{3x+1}{100}) =^{3x+1}\log 1000$

$\log(3x+1) - \log(100) = \frac{1}{^{1000}\log(3x+1)}$

$\log(3x+1) - \log(10)^2 = \frac{1}{^{10^3}\log(3x+1)}$

$\log(3x + 1) - 2 = \frac{1}{\frac{1}{3}\log(3x+1)}$

$\log(3x+1) - 2 = \frac{3}{\log(3x+1)}$

Misalkan $y = \log(3x+1)$ , maka persamaannya:

$y - 2 = \frac{3}{y}$

$y^2 - 2y = 3$

$y^2 - 2y - 3 = 0$

$(y - 3)(y + 1) = 0$

Akarnya adalah $y_1 = 3$ ,namun $y_2 = -1$ tidak bisa jadi penyelesaian karena bernilai negatif.

Sehingga:

Jika $y_1 = 3 \overset{maka}{\rightarrow}3 = \log(3x+1)$

$\log(1000) = \log(3x+1)$

$1000 = 3x+1$

$x = \frac{999}{3} = 333$

Soal 3: Pertidaksamaan Logaritma

Penyelesaian pertidaksamaan $2\log(x+1) \le \log(x+4) + \log 4$ adalah (UMPTN ’96)

Pembahasan 3:

$2\log(x+1) \le \log(x+4) + \log 4$

$\log(x+1)^2 \le\log 4(x+4)$

$(x+1)^2 \le 4(x+4)$

$x^2 + 2x + 1 \le 4x + 16$

$x^2 - 2x - 15 \le 0$

$(x - 5)(x + 3) \le 0$

Akar-akarnya adalah $x_1 = 5$ dan $x_2 = -3$ . Sehingga intervalnya:

$-3 \le x \le 5$

Namun ada syarat yaitu:

$(x + 1)^2 > 0$

x < -1 atau x < -1

Garis bilangannya adalah:

pembahasan pertidaksamaan

Maka penyelesaiannya adalah:

$-1 < x \le 5$

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)