Vektor di R^2
Panjang segmen garis yang menyatakan vektor atau dinotasikan sebagai Panjang vektor sebagai:
Panjang vektor tersebut dapat dikaitkan dengan sudut yang dibentuk oleh vektor dan sumbu x. positif.
Vektor dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis dan berikut:
Operasi Vektor di R^2
Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^2
Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan dan hasilnya disebut resultan. Penjumlahan vektor secara aljabar dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen yang seletak. Jika dan maka:
Penjumlahan secara grafis dapat dilihat pada gambar dibawah:
Dalam pengurangan vektor, berlaku sama dengan penjumlahan yaitu:
Sifat-sifat dalam penjumlahan vektor sebagai berikut:
Perkalian vektor di R^2 dengan skalar
Suatu vektor dapat dikalikan dengan suatu skalar (bilangan real) dan akan menghasilkan suatu vektor baru. Jika adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:
Dengan ketentuan:
- Jika k > 0, maka vektor searah dengan vektor
- Jika k < 0, maka vektor berlawanan arah dengan vektor
- Jika k = 0, maka vektor adalah vektor identitas
Secara grafis perkalian ini dapat merubah panjang vektor dan dapat dilihat pada tabel dibawah:
Secara aljabar perkalian vektor dengan skalar k dapat dirumuskan:
Perkalian Skalar Dua Vektor di R^2
Perkalian skalar dua vektor disebut juga sebagai hasil kali titik dua vektor dan ditulis sebagai:
(dibaca : a dot b)
Perkalaian skalar vektor dan dilakukan dengan mengalikan panjang vektor dan panjang vektor dengan cosinus . Sudut yang merupakan sudut antara vektor dan vektor .
Sehingga:
Dimana:
Perhatikan bahwa:
- Hasil kali titik dua vektor menghasilkan suatu skalar
Vektor di R^3
Vektor yang berada pada ruang tiga dimensi (x, y, z).jarak antara dua titik vektor dalam dapat diketahui dengan pengembangan rumus phytagoras. Jika titik dan titik maka jarak AB adalah:
Atau jika , maka
Vektor dapat dinyatakan dalam dua bentuk, yaitu dalam kolom atau dalam baris . Vektor juga dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis dan dan berikut:
Operasi Vektor di R^3
Operasi vektor di secara umum, memiliki konsep yang sama dengan operasi vektor di dalam penjumlahan, pengurangan, maupun perkalian.
Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^3
Penjumlahan dan pengurangan vektor di sama dengan vektor di yaitu:
Dan
Perkalian vektor di R^3 dengan skalar
Jika adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:
Hasil kali skalar dua vektor
Selain rumus di , ada rumus lain dalam hasil kali skalar dua vektor. Jika dan maka adalah:
Proyeksi Orthogonal vektor
Jika vektor diproyeksikan ke vektor dan diberi nama seperti gambar dibawah:
Diketahui:
Sehingga:
atau
Untuk mendapat vektornya:
Contoh Soal Vektor dan Pembahasan
Contoh Soal 1
Diketahui titik A(2,4,6), titik B(6,6,2), dan titik C(p,q,-6). Jika titik A, B, dan C segaris maka tentukan nilai p+q.
Pembahasan 1:
Jika titik-titik A, B, dan C segaris maka vektor dan vektor bisa searah atau berlainan arah. Sehingga akan ada bilangan m yang merupakan sebuah kelipatan dan membentuk persamaan
Jika B berada diantara titik A dan C, diperoleh:
sehingga:
Maka kelipatan m dalam persamaan:
Diperoleh:
disimpulkan:
p+q=10+14=24
Contoh Soal 2
Jika diketahui vektor pada titik A dan titik B dan vektor pada titik C yang berada diantara garis Ab seperti gambar dibawah. Tentukan persamaan vektor C.
Pembahasan 2:
Dari gambar dapat diketahui bahwa:
- sehingga
Sehingga:
Contoh Soal 3
Misalkan vektor dan vektor . Jika panjang proyeksi vektor a ̅ pada adalah 4. Maka tentukan nilai y.
Pembahasan 3:
Diketahui:
Maka:
12=8+2y
y=2
Tidak ada komentar:
Posting Komentar