DALIL SEGMEN GARIS PADA MASALAH GEOMETRI DAN CONTOH SOALNYA

DALIL SEGMEN GARIS PADA MASALAH GEOMETRI DAN CONTOH SOALNYA

Ingat bahwa garis AB adalah himpunan tak berbatas dari titik-titik yang membentang tampa henti di kedua arah, tetapi satu baris. Sedangkan segmen garis AB adalah bagian dari garis AB dan memiliki panjang terbatas (titik A dan B sebagai batas)
Perhatikan beberapa dalil segmen garis berikut ini :

Dalil 1 : (Sifat kongruen segmen garis)
Sifat kongruen segmen garis adalah refleksi, simetri dan transitif
Refleksi : Untuk setiap garis AB berlaku AB ≡ AB
Simetri : Jika AB ≡ CD, maka CD ≡ AB
Transitif : Jika AB ≡ CD, dan CD ≡ EF maka AB ≡ EF

Dalil 4 : Dua garis tidak berpotongan pada lebih dari satu titik
Pada gambar di dibawah
AEB dan CED berpotongan di titik D dan tidak berpotongan dititik lain.

Dalil 5 : Jika terdapat sebuah titik pada suatu garis hanya dapat dibuat satu garis tegak lurus melalui garis tersebut

Dalil 6 : Untuk setiap dua titik berbeda, hanya ada satu bilangan real positif, yaitu panjang segmen garis yang menghubungkan dua titik.

Pada gambar diatas, untuk titik A dan B yang berbeda, hanya ada satu bilangan real positif, diwakili oleh AB yang merupakan AB . yang merupakan jarak titik A ke titik B

Dalil 7 : Jarak terpendek antara dua titik adalah panjang ruas garis yang menghubungkan dua titik itu.

Dalil 8 : Segmen garis memiliki satu dan hanya satu titik tengah.

Pada gambar diatas, segmen AB memiliki titik tengah M, dan tidak ada titik tengah lain pada AB .

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:

Penerapan dalil segmen garis adalah pada segitiga. Terdapat beberapa dalil yang berlaku pada segitiga, yakni dalil titik tengah dan dalil intersep. Berikut akan diuraikan tentang kedua dalil tersebut:

(1) Dalil titik tengah segitiga
Ruas garis yang menghubungkan titik-titik tengah dari dua sisi segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan setengah dari panjang sisi ketiga.

Jadi, pada segitiga ABC di atas, terdapat titik D dan E yang masing-masing merupakan titik tengah dari sisi AC dan AB, maka ruas garis DE akan sejajar dengan CB dan panjang DE setengah dari panjang AB.

(2) Dalil Intersept (Intercept)
Jika dua atau lebih garis sejajar dipotong oleh dua garis berpotongan, maka rasio dari ruas garis berpotongan pertama adalah sama dengan rasio dari ruas garis yang serupa dari garis perpotongan kedua.

Jadi, pada segitiga ABC di atas, terdapat garis DE yang sejajar dengan AB, dan kemudian garis-garis sejajar itu dipotong oleh dua garis yang berpotongan yakni CA dan CB, maka berlaku:
 

Pengembangan dari dalil ini, apabila terdapat tiga garis sejajar dan ketiga garis itu dipotong oleh dua garis yang berpotongan, seperti tampak pada gambar di samping, maka berlaku perbandingan:

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini:

1. Pada segitiga ABC, D, E dan F masing-masing titik tengah AB, AC dan BC, dimana BC = 130 cm dan DF = 50 cm. Jika keliling segitiga ABC 340 cm, tentukanlah panjang EF

Jawab
BC = 130 cm
DF = 50 cm maka AC = 2(50) = 100 cm
AB + BC + AC = 340
AB + 130 + 100 = 340
AB + 230 = 340 Jadi AB = 110 cm
Sehingga : EF = ½ AB =  ½ (110) = 55 cm

DALIL TITIK TENGAH DAN DALIL INTERSEPT PADA SEGITIGA PADA MASALAH GEOMETRI DAN CONTOH SOALNYA

  

DALIL TITIK TENGAH DAN DALIL INTERSEPT PADA SEGITIGA PADA MASALAH GEOMETRI DAN CONTOH SOALNYA

Dalil Titik  Pada Segitiga

Dalil titik pada segitiga berbunyi: 

Segmen garis penghubung titik-titik tengah dari kedua sisi-sisi segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya adalah setengah dari panjang sisi ketiga tersebut.

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:

Pada segitiga di atas, misal titik $D$ adalah titik tengah sisi $AC$, dan titik $E$ adalah titik tengah sisi $BC$, segmen garis penghubung titik  $D$ dan titik $E$ (segmen garis $DE$) pasti sejajar dengan garis $AB$, dan panjang $DE=\frac{1}{2}\times AB$.

Pembuktian Dalil Titik Tengah pada Segitiga

Perhatikan kembali segitiga $ABC$ pada gambar 1 di atas:

Segitiga $ABC$ sebangun dengan segitiga $DEC$, berdasarkan sifat kesebangunan kita peroleh:

$$\begin{align*}\frac{CD}{CA}&=\frac{DE}{AB}\\\frac{1}{2}&=\frac{DE}{AB}\\DE&=\frac{1}{2}\times AB\: \: \: \blacksquare\end{align*}$$

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1

Perhatikan gambar segitiga $PQR$ di bawah ini:

Jika panjang ruas garis $ST=15$ cm, berpakah panjang ruas garis $QR$

Pembahasan:

Karena titik $S$ merupakan titik tengah ruas garis $QP$ dan titik $T$ titik tengah ruas garis $PR$, maka berlaku dalil titik tengah sehingga diperoleh:

$ST=\frac{1}{2}\times QR\Rightarrow QR=2\times ST$

$QR=2\times 15=30$ cm

Contoh 2

Perhatikan segitiga $ABC$ siku-siku di $B$ pada gambar di bawah ini:

Jika panjang $BE=5$ cm dan panjang $AD=13$ cm, berapakah panjang $AB$ dan $DE$?

Pembahasan:

$BC=2\times BE=2\times 5=10$

$AC=2\times AD=2\times 13=26$

Dengan menggunakan teorema pythagoras, kita peroleh:

$\begin{align*}AB^2&=AC^2-BC^2\\&=(AC+BC)(AC-BC)\\&=(13+5)(13-5)\\&=18\times 8\\&=144\\AB&=\sqrt{144}\\&=12 \end{align*}$

Dengan menggunakan dalil titik tengah pada segitiga kita peroleh:

$DE=\frac{1}{2}\times AB=\frac{1}{2}\times 12=6$

Contoh 3

Perhatikan gambar berikut:

Nilai $x+y$ pada gambar di atas adalah ....

Pembahasan:

Perhatikan segitiga $CDE$, berdasarkan dalil titik tengah pada segitiga, maka kita peroleh:

$x=\frac{1}{2}\times DE=\frac{1}{2}\times 22 = 11$

Segitiga $ABC$ sebangun dengan segitiga $CDE$, maka berlaku:

$\begin{align*}\frac{AC}{DC}&=\frac{AB}{DE}\\ \frac{3}{2}&=\frac{y}{22}\\y&=\frac{3}{2}\times 22\\y&=33\end{align*}$

maka $x+y=11+33=44$

SIFAT KESIMETRIAN DAN SIFAT SUDUT PADA SEGITIGA, SIFAT SEGI EMPAT DAN LINGKARAN BERSAMA CONTOH SOALNYA

soal pilihan ganda dan penyelesaiannya yang berkaitan dengan sifat kesimetrian dan sifat sudut pada segitiga, sifat segi empat dan lingkaran

Contoh Soal:

1.

Dari gambar di atas, tentukan:

a. Tentukan luas perseginya:
b. Tentukan keliling perseginya:

Jawab:

a. Rumus Luas persegi ABCD yakni: s x s, sehingga

= 5 cm x 5 cm
= 25 cm2.

Jadi, luas persegi ABCD yaitu: 25 cm2.

b. Rumus Keliling persegi ABCD ialah: 4 x s, sehingga

= 4 x 5 cm
= 20 cm.

Jadi, jumlah keliling persegi ABCD tersebut yaitu 20 cm.

2.

Pertanyaan:

a. Hitunglah luas segitiga :
b. Hitunglah keliling segitiga :

Jawab:

a. Luas segitiga Rumusnya yaitu ½  x  a  x  t, sehingga

= ½ x 3 cm x 4 cm

= ½ x 12 cm2.
= 6 cm2

Jadi, hasil perhitungan dari luas segitiga adalah 6 cm2.

b.  Keliling segitiga nya adalah = s + s + s, sehingga

= AC+AB+BC
= 3cm+4cm+5cm
= 12 cm.

Jadi, keliling segitiga adalah 12 cm.

3.

Mencari Luas

Apabila diketahui suatu lingkaran memiliki diameter 14 cm. Berapakah luas lingkaran tersebut?

Jawab:

Diketahui:

• d = 14 cm

Sebab d = 2 × r maka:
r = d/2
r = 14/2
r = 7 cm

Ditanyakan:

• Luas lingkaran?

Penyelesaian:

Luas = π × r²
Luas = 22/7 × 7²
Luas = 154 cm²

Sehingga, luas lingkaran tersebut yaitu 154 cm².

Mencari Keliling

Hitunglah keliling lingkaran yang memiliki jari-jari 20 cm.

Jawab

Diketahui:

• r = 20 cm
• π = 3,14

Ditanyakan:

• Keliling lingkaran?

Jawab:

Keliling = 2 × π × r
Keliling = 2 × 3,14 × 20
Keliling = 125,6 cm

Sehingga, keliling lingkaran tersebut yaitu 125,6 cm.

Mencari Diameter

Diketahui suatu lingkaran mempunyai keliling sebesar 66 cm. Tentukan berapa diameter lingkaran tersebut!

Jawab

Diketahui:

• Keliling = 66 cm

Ditanyakan:

• Diameter lingkaran?

Jawab:

Keliling = π × d

Dalam mencari diameter, maka kita akan menggunakan rumus mencari diameter, yaitu:

Rumus mencari diamter ialah d = keliling / π

• d = 66 / (22/7)
• d = (66 × 7) / 22
• d = 21 cm

Sehingga, diameter lingkaran tersebut yaitu 21 cm

 VEKTOR MATEMATIKA – PENGERTIAN, RUMUS, DAN CONTOH SOAL

vektor adalah ruas garis berarah yang memiliki besaran (nilai) dan arah tertentu. Secara geometris, suatu vektor dapat digambarkan sebagai ruas garis berarah dengan panjang ruas garis menyatakan besar vektor dan arah ruas garis menyatakan arah vektor.

Sebuah vektor dapat dinotasikan dengan beberapa ketentuan, diantaranya:

Definisi dari vektor sendiri adalah ruas garis berarah. Maka, bentuk dari vektor bisa kamu lihat pada gambar vektor berikut ini.

Nah, setelah kalian amati gambar vektor di atas, . Kedua vektor tersebut mempunyai panjang vektor dan arah yang sama meskipun letaknya berbeda.

Jenis-Jenis Vektor Matematika

Vektor ternyata terbagi menjadi beberapa jenis, yaitu:

1. Vektor Nol : Suatu vektor yang panjangnya nol dan tidak memiliki arah vektor yang jelas.

2. Vektor Posisi : Suatu vektor yang posisi titik awalnya di O (0,0), sedangkan posisi titik ujungnya di satu titik tertentu (selain titik O).

3. Vektor Satuan : Suatu vektor yang panjangnya satu satuan.

4. Vektor Basis : Suatu vektor yang panjangnya satu satuan, tapi arahnya searah dengan sumbu koordinat.

Vektor Pada Bidang (R2)

Kita lanjut, yuk! Karena vektor merupakan salah satu bagian dari geometri, berarti vektor dapat digambarkan pada sebuah bidang (R2) atau sebuah ruang (R3). Kalau vektor berada pada bidang, maka akan dinyatakan dalam dua sumbu koordinat, yaitu sumbu-x dan sumbu-y. Sedangkan vektor yang berada pada ruang (R3), akan dinyatakan dalam tiga sumbu koordinat, yaitu sumbu-x, sumbu-y, dan sumbu-z.

Panjang Vektor pada Bidang

Sesuai dengan pengertiannya, vektor memiliki panjang tertentu. Nah, untuk menentukan panjang suatu vektor pada bidang (R2), kamu bisa menggunakan rumus berikut.

Operasi Vektor pada Bidang

Operasi pada vektor tidak jauh berbeda dengan operasi aljabar kok, Sobat. Operasi vektor pada bidang meliputi: penjumlahan, pengurangan, perkalian vektor dengan skalar, dan perkalian dua vektor.

Penjumlahan Vektor

Dalam penjumlahan dua vektor, secara geometri, terdapat dua macam cara penjumlahan yang bisa digunakan, yaitu: cara segitiga dan cara jajar genjang.

• Penjumlahan dua vektor dengan cara segitiga:

• Penjumlahan dua vektor dengan cara jajar genjang:

Namun, secara aljabar, penjumlahan vektor hanya menjumlahkan koordinat titik pusat vektor dengan titik ujungnya.

2. Pengurangan Vektor
Pengurangan dua vektor pada dasarnya sama dengan penjumlahan kedua vektor. Namun, secara geometri, yang membedakan adalah terdapat salah satu vektor yang memiliki arah berlawanan sehingga bernilai negatif. Sedangkan secara aljabar, hanya mengurangi titik-titik pada koordinat vektornya.

3. Perkalian Vektor dengan Skalar
Perkalian antara vektor dengan skalar adalah hasil kali suatu bilangan skalar k dengan sebuah vektor a.